Аффинное преобразование и его матричное представление

Тема этого выпуска задание аффинного преобразования в матричной форме. Эта тема, по сути, является обобщением всего, что было сказано ранее.

Определение. Преобразование плоскости называется аффинным, если

• оно взаимно однозначно;
• образом любой прямой является прямая.

Преобразование называется взаимно однозначным, если

• разные точки переходят в разные;
• в каждую точку переходит какая-то точка.

Прим. Более подробно про аффинные преобразования можно посмотреть на ru.wikibooks.org 

Однородные координаты

Если рассмотреть параллельный перенос, то оказывается, что для его задания матрицы 2x2 уже недостаточно. Но его можно задать с помощью матрицы размера 3x3. Появляется вопрос, откуда взять третью координату у двумерной точки? 

Определение. Однородные координаты — координаты, обладающие тем свойством, что определяемый ими объект не меняется при умножении всех координат на одно и то же число.

Однородными координатами вектора (х, у) является тройка чисел (x', y', h), где х = х' / h, у = y'/h, а h — некоторое вещественное число (случай, когда h = 0 является особым).  

Прим. Данные координаты не позволяют однозначно задать точку плоскости. Например, (1, 1, 1) и (2, 2, 2) задают одну и ту же точку (1, 1). Предлагается взять набор (x, y, 1), который будет описывать все точки плоскости.

Матрица преобразования для однородных координат имеет размер 3х3. Рассмотрим некоторые преобразования в однородных координатах. 

Сжатие/растяжение

Это преобразование умножает соответствующие координаты точек на коэффициенты масштабирования по осям: (x, y) -> (a_x * x, a_y * y). Матрица преобразования запишется следующим образом:

[  a_x   0    0  ]     

[  0    a_y   0  ]

[  0    0    1  ] 

Где      a_x – растяжение по оси x,

a_y  – растяжение по оси y.

Прим. Можно заметить, что при отрицательных значениях коэффициентов сжатия/растяжения происходит отражение относительно соответствующих осей. Этот случай можно включить в данное преобразование, а можно вынести в отдельное, сказав, что коэффициенты масштабирования принимают только положительные значения.

Поворот

Матрица поворота 2x2 была подробно разобрана ранее. Теперь она дополняется строкой и столбцом:

[   cos(phi)    sin(phi)   0  ]                            

[  -sin(phi)    cos(phi)   0  ]

[   0           0          1  ] 

Прим. При угле phi = п эта матрица задает центральную симметрию относительно начала координат, которая является частным случаем поворота. Можно заметить, что такую симметрию можно задать с помощью преобразования сжатия/растяжения (допуская отрицательные коэффициенты масштабирования).

Параллельный перенос 

Исходный вектор (x, y) переходит в (x + tx, y + ty). Матрица преобразования запишется следующим образом: 

[  1    0    0  ]    

[  0    1    0  ]

[  t_x   t_y   1  ]

Отражение 

Как говорилось в примечании к преобразованию сжатия/растяжения, отражения получаются следующим образом:

[  -1    0    0  ]    

[   0    1    0  ]

[   0    0    1  ]
отражение относительно оси x

[   1    0    0  ]    

[   0   -1    0  ]

[   0    0    1  ]
отражение относительно оси y

Общий вид аффинного преобразования

Матрица 3x3, последний столбец которой равен ( 0  0  1 )^T, задает аффинное преобразование плоскости:

[   *    *    0  ]    

[   *    *    0  ]

[   *    *    1  ]

По одному из свойств, аффинное преобразование можно записать в виде:

f(x) = x * R + t,

где R – обратимая матрица 2x2, а t – произвольный вектор. В однородных координатах это запишется следующим образом:

[ R_1,1     R_1,2       0 ] 

[ R_2,1     R_2,2       0 ]

[ t_x       t_y        1 ]

Если умножить вектор-строку на эту матрицу получаем результат преобразования:

[ x   y   1 ]   *   [ R_1,1         R_1,2       0 ]

      [ R_2,1         R_2,2       0 ]

                    [ t_x           t_y        1 ]

=

[ x’   y’   1 ]   +   [ t_x   t_y    1 ]

При этом [ x’   y’ ]   =   R   *   [ x   y ]

Прим. Любопытный читатель уже задал себе вопрос: в чем смысл определителя матрицы R? При аффинном преобразовании площади всех фигур изменяются в |R|. (Можно строго доказать это с точки зрения математики, но здесь этот факт приводится без доказательства.)

Т.о. аффинное преобразование представляется в виде композиции некоторого преобразования, задаваемого матрицей R, и параллельного переноса. Разберем более подробно природу этой матрицы и возможности, которые она нам дает.

Матрица R определяет новый базис плоскости. Т.е. вектор (1, 0) переходит в (R_1,1, R_1,2), вектор (0, 1) переходит в (R_2,1, R_2,2). Новый базис это строки матрицы R.

Пример.

При отражении относительно оси y, базисный вектор по оси ординат сохраняется, а по оси абсцисс переходит в (-1, 0). Т.о. матрица R будет выглядеть следующим образом:

[  -1   0  ]

[   0   1  ]

Теперь становится ясно, что кроме вышеперечисленных преобразований, с помощью аффинного преобразования можно получить скос:

Выше приведены базовые сведения о таком мощном инструменте, как аффинное преобразование. Остается много вопросов: какой подкласс аффинных преобразований сохраняет углы между прямыми? Как можно представить аффинное преобразование в виде композиции нескольких подклассов? Как задавать более сложные преобразования, например, осевая симметрия относительно произвольной прямой?

Ответы на эти вопросы и более детальное рассмотрение аффинного преобразования будут приведены отдельно, в качестве раздела курса теоретической геометрии.

Остановимся на практической реализации аффинного преобразования в виде демонстрационной программы. К возможностям приложения, демонстрирующего поворот плоскости мышью, добавляются функции параллельного переноса при нажатой клавише CTRL.

Т.к. эта статья является завершающей в данном разделе, код демонстрационного приложения должен быть соответствующим. Давайте попробуем разобраться, какие блоки нужны в графическом приложении, параллельно рассматривая, как они реализованы в данной программе:

• блок, в котором происходит создание окна и обрабатываются сообщения операционной системы, реализован в файлe main.cpp
• графический движок, выполняющий отрисовку изображения, класс Engine
• прослойка, необходимая для преобразования логических координат в оконные и обратно, класс Viewport
• объект, отвечающий за реакцию на действия пользователя, класс Action

В приведенном примере реализованы эти функциональные блоки, с подробными комментариями.